Question

[2013·浙江高考]已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(　　)

A.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值

B.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值

C.當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值

D.當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值

 

Answer 1

C

【解析】當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)＝(ex－1)(x－1)，

f′(x)＝xex－1，

∵f′(1)＝e－1≠0，

∴f(x)在x＝1處不能取到極值；

當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，

令H(x)＝xex＋ex－2，

則H′(x)＝xex＋2ex>0，x∈(0，＋∞)．

說(shuō)明H(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，

且H(1)＝2e－2>0，H(0)＝－1<0，

因此當(dāng)x0<x<1(x0為H(x)的零點(diǎn))時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(x0,1)上為減函數(shù)．

當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．

∴x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)，故選C.