Question

已知函數f（x）=lnx-

1

2

mx²-x．
（Ⅰ）若f（x）在x=3處取得極值，求m的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）內單調遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，求導數，由于f（x）在x=3處取得極值，則f′（3）=0，從而可得m的值；
（Ⅱ）令導數大于等于0，再利用分離參數法，確定相應函數的最值，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-mx-1，
由于f（x）在x=3處取得極值，
則f′（3）=0，即有

1

3

-3m-1=0，
解得，m=-

2

9

．檢驗成立．
故m=-

2

9

；
（Ⅱ）令f'（x）≥0，即mx≤

1

x

-1，
∵x＞0，∴mx²+x-1≤0．
∵f（x）在（0，+∞）內單調遞增，
∴mx²+x-1≤0在x∈（0，+∞）恒成立．
即m≤（

1

x2

-

1

x

）_min．
當x∈（0，+∞）時，

1

x2

-

1

x

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，
當x=2時，取得最小值-

1

4

．
故m≤-

1

4

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查分離參數法的運用，解題的關鍵是轉化為恒成立問題，再求最值，屬于中檔題．