Question

過點(diǎn)M（2，4）作兩條互相垂直的直線，分別交x軸y軸的正半軸于A、B，若四邊形OAMB的面積被直線AB平分，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)A（a，0）、B（0，b）．得到直線AB，由題知MA⊥MB即直線MA與直線MB的斜率乘積為-1，得到a與b的關(guān)系式；又因?yàn)樗倪呅蜲AMB的面積被直線AB平分得到M到直線AB與O到直線AB的距離相等得到a與b的關(guān)系式，兩者聯(lián)立求出a和b即可得到直線AB的方程．
解答：解：由題意，設(shè)A（a，0）、B（0，b）．則直線AB方程為+=1（a＞0，b＞0）
∵M(jìn)A⊥MB，∴=-1，化簡得a=10-2b．
∵a＞0，∴0＜b＜5．直線AB的一般式方程為bx+ay-ab=0
∴點(diǎn)M（2，4）到直線AB的距離為d₁=．
又∵O點(diǎn)到直線AB的距離為d₂=，∵四邊形OAMB的面積被直線AB平分，
∴d₁=d₂，∴2b+4a-ab=±ab．
又∵a=10-2b．
解得或，
∴所求直線為2x+y-4=0或x+2y-5=0．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解兩直線垂直時(shí)條件的能力，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式的能力，能寫出直線的一般式．