Question

(本題滿分14分)
已知正項數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
(Ⅲ) 設(shè)如果對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知，得 ①，  ② . 由②得③.
將③代入①得，對任意，有
即
是等差數(shù)列.                                                4分
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公差為，
由經(jīng)計算，得


                                  9分
（Ⅲ）由（1）得

不等式化為
即
設(shè)，則對任意正整數(shù)恒成立．
當(dāng)，即時，不滿足條件；
當(dāng)，即時，滿足條件；
當(dāng)，即時，的對稱軸為，關(guān)于遞減，
因此，只需 解得
綜上，                                                14分

略