Question

如圖，已知四邊形與均為正方形，平面平面.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）要證直線與平面垂直，只須證明這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直或證明這條直線是兩垂直平面中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，且這條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線即可.本題屬于后者，由平面平面且交線為，而且平面，所以問(wèn)題得證；（2）解決空間角最有效的工具是向量法，先以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，為計(jì)算的方便，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，然后標(biāo)出有效點(diǎn)與有效向量的坐標(biāo)，易知平面的法向量為，再利用待定系數(shù)法求出另一平面的法向量，接著計(jì)算出這兩個(gè)法向量夾角的余弦值，根據(jù)二面角的圖形與計(jì)算出的余弦值，確定二面角的大小即可.
試題解析：(1)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033546052545.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面平面
又因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033545989517.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033546457440.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面       4分
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

則
所以平面的法向量為   5分
設(shè)平面的法向量為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033546629951.png" style="vertical-align:middle;" />
由得即
令，則       6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240335467071221.png" style="vertical-align:middle;" />
所以二面角的大小為       8分.