Question

1．已知函數f（x）=log_a（-x²+log_2ax）對任意x∈（0，$\frac{1}{2}$）都有意義，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{128}$，$\frac{1}{2}$）
• B． [$\frac{1}{64}$，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 利用函數的單調性得出log_2ax＞0，0＜2a＜1，0＜a＜$\frac{1}{2}$，判斷出函數g（x）=-x²+log_2ax在（0，$\frac{1}{2}$）單調遞減，轉化為-$\frac{1}{4}$+log_2a $\frac{1}{2}$≥0即可求解．

解答 解：∵函數f（x）=log_a（-x²+log_2ax）的定義域是（0，$\frac{1}{2}$），
∴-x²+log_2ax＞0，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
∵-$\frac{1}{4}$＜-x²＜0，
∴l(xiāng)og_2ax＞0，
∴0＜2a＜1，0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∵函數g（x）=-x²+log_2ax在（0，$\frac{1}{2}$）單調遞減，
∴g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$+log_2a $\frac{1}{2}$恒成立，
∴只需-$\frac{1}{4}$+log_2a $\frac{1}{2}$≥0即可．
a≥$\frac{1}{32}$，
故實數a的取值范圍為[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$），
故選：C．

點評 本題考查了有關系的二次，對數函數的單調性，轉化思想求解函數的最值結合不等式求解，屬于中檔題．