Question

設

a

、

b

是兩個不共線的非零向量（t∈R）．
（1）記

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

1

3

（

a

+

b

），那么當實數(shù)t為何值時，A，B，C三點共線？
（2）若|

a

|=|

b

|=1且

a

與

b

夾角為120°，那么實數(shù)x為何值時，|

a

+x

b

|的值最小？

Answer 1

考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角,向量的模,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應用

分析：（1）由A、B、C三點共線可得

AB

=λ

AC

，即-

a

+t

b

=-

2

3

λ

a

+

1

3

λ

b

，再根據(jù) 

-1=- 2 3 λ t= 1 3 λ

，解得t的值．
（2）由條件求得

a

•

b

=-

1

2

，再根據(jù)|

a

+x

b

|²=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，可得|

a

-x

b

|的最小值．

解答： 解：（1）∵A、B、C三點共線，∴

AB

=λ

AC

，∴-

a

+t

b

=λ（-

2

3

a

+

1

3

b

）=-

2

3

λ

a

+

1

3

λ

b

，
∴

-1=- 2 3 λ t= 1 3 λ

，解得 t=

1

2

．
（2）∵|

a

|=|

b

|=1，＜

a

，

b

＞=120°，∴

a

•

b

=-

1

2

，
∴|

a

+x

b

|²=|

a

|²+x²|

b

|²-2x•

a

•

b

=1+x²+x=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴|

a

-x

b

|的最小值為

3

2

，此時x=

1

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量共線的性質，求向量的模，屬于基礎題．