Question

【題目】如圖所示,平面多邊形中,AE=ED,AB=BD,且,現(xiàn)沿直線,將折起,得到四棱錐.

(1)求證: ;

(2)若,求PD與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）正弦值為.

【解析】試題分析：(1)取的中點(diǎn),連,由題意可得且,則有平面,可得結(jié)論;(2)法一:以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB, OD, OP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PAB的一個(gè)法向量,再利用向量的夾角公式求解即可；法二:利用等積法:由得= ,求出點(diǎn)D到平面PAB的距離為h,設(shè)PD與平面所成角為,則===.

解析：

(1)證明:取的中點(diǎn),連,

∵,即,

∴且,

又,

∴平面,

而平面,

∴.

(2)∵OP=1,OB=2,

,

∴,

∴OP、OB、OD兩兩互相垂直,

以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB, OD, OP所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則,

,

設(shè)為平面PAB的一個(gè)法向量,則

由,

令則得,

∴,

設(shè)PD與平面所成角為,

則====,

故,

即PD與平面所成角的正弦值為.