【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標縮短為原來的,得到曲線,在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程及直線的直角坐標方程;
(2)設點為曲線:上的任意一點,求點到直線的距離的最大值.
【答案】(1):, :;(2)
【解析】
(1)由圖象變換得到曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)可得直角坐標方程,再化為極坐標方程即可.由直線的極坐標方程并結(jié)合互化公式可得直線的直角坐標方程.(2)設,根據(jù)點到直線的距離公式和三角函數(shù)的有關知識可得最大值.
(1)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
根據(jù)圖象變換可得曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
消去方程中的可得普通方程為,
將代入上式得.
所以曲線的極坐標方程.
直線的極坐標方程為,即,
將代入上式,得,
所以直線的直角坐標方程為.
(2)設為曲線上任一點,
則點到直線的距離 ,
∴當時,有最大值,
∴點到直線的距離的最大值為.
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【題目】在平面直角坐標系中,動點分別與兩個定點,的連線的斜率之積為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設過點的直線與軌跡交于,兩點,判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關系,并說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率,且經(jīng)過點.
求橢圓的方程;
過點且不與軸重合的直線與橢圓交于不同的兩點,,過右焦點的直線分別交橢圓于點,設, ,求的取值范圍.
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【題目】給出三個命題:①直線上有兩點到平面的距離相等,則直線平行平面;②夾在兩平行平面間的異面直線段的中點的連線平行于這個平面;③過空間一點必有唯一的平面與兩異面直線平行.正確的是( )
A. ②③B. ①②C. ①②③D. ②
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【題目】某中學的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應關系如下表(假設該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級 | 1級優(yōu) | 2級良 | 3級輕度污染 | 4級中度污染 | 5級重度污染 | 6級嚴重污染 |
該社團將該校區(qū)在2018年11月中10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計為概率.
(1)以這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為估計2018年11月的空氣質(zhì)量情況,則2018年11月中有多少天的空氣質(zhì)量達到優(yōu)良?
(2)從這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽取三天,求恰好有一天空氣質(zhì)量良的概率;
(3)從這10天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù),記表示抽取空氣質(zhì)量良的天數(shù),求的分布列和期望.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標縮短為原來的,得到曲線,在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程及直線的直角坐標方程;
(2)設點為曲線上的任意一點,求點到直線的距離的最大值.
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【題目】下列說法中正確的是( )
A.若,則,的長度相等,方向相同或相反
B.若向量是向量的相反向量,則
C.空間向量的減法滿足結(jié)合律
D.在四邊形中,一定有
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【題目】已知橢圓的離心率為,直線經(jīng)過橢圓的左焦點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線與軸交于點,、是橢圓上的兩個動點,且它們在軸的兩側(cè),的平分線在軸上,|,則直線是否過定點?若過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由.
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