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14.設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ax2+bx-a(|x|≤1).
(1)若|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,求證:|f(x)|≤54;
(2)當(dāng)b=1,若f(x)的最大值為178,求實數(shù)a的值.

分析 (1)利用已知條件直接代入|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,求出a,b的范圍,然后利用絕對值的性質(zhì)證明即可.
(2)利用條件以及(1)的結(jié)果,討論a的范圍求解函數(shù)的最值得到方程,求出a的值.

解答 (1)證:∵|f(0)|=|a|≤1;
|f(1)|=|b|≤1;
∴|f(x)|=|a(x2-1)+bx|≤|a||x2-1|+|b||x|≤|x2-1|+|x|,
∵-1≤x≤1,
∴|f(x)|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=-(|x|-122+54,
|fx|54
(2)解:b=1當(dāng)|a|≤1時,∵fx54,f(x)的最大值為178矛盾,∴|a|>1
當(dāng)a>1時,∵12a1.0,∴f(x)在112a是減函數(shù),12a1是增函數(shù),
∵f(1)=1,f(-1)=-1,
∴f(x)max=f(1)=1不符題意.
當(dāng)a<-1時 12a101,∴f(x)在112a是增函數(shù),
12a1是減函數(shù),
fxmax=f12a=a14a=178-8a2-2=17a,即8a2+17a+2=0,
a=18或a=-2,
∵a<-1,
∴a=-2.

點評 本題考查函絕對值的函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,考查分類討論思想的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
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