分析 (1)利用已知條件直接代入|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,求出a,b的范圍,然后利用絕對值的性質(zhì)證明即可.
(2)利用條件以及(1)的結(jié)果,討論a的范圍求解函數(shù)的最值得到方程,求出a的值.
解答 (1)證:∵|f(0)|=|a|≤1;
|f(1)|=|b|≤1;
∴|f(x)|=|a(x2-1)+bx|≤|a||x2-1|+|b||x|≤|x2-1|+|x|,
∵-1≤x≤1,
∴|f(x)|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=-(|x|-12)2+54,
∴|f(x)|≤54.
(2)解:b=1當(dāng)|a|≤1時,∵f(x)≤54,f(x)的最大值為178矛盾,∴|a|>1
當(dāng)a>1時,∵−12a∈(−1.0),∴f(x)在(−1,−12a)是減函數(shù),(−12a,1)是增函數(shù),
∵f(1)=1,f(-1)=-1,
∴f(x)max=f(1)=1不符題意.
當(dāng)a<-1時 −12a(−10,1),∴f(x)在(−1,−12a)是增函數(shù),
在(−12a,1)是減函數(shù),
∴f(x)max=f(−12a)=−a−14a=178-8a2-2=17a,即8a2+17a+2=0,
∴a=−18或a=-2,
∵a<-1,
∴a=-2.
點評 本題考查函絕對值的函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,考查分類討論思想的應(yīng)用.
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A. | a<-1或a>1 | B. | a≤-1或a≥1 | C. | a≥1 | D. | a>1 |
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