已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+
π
2
)
是偶函數(shù),給出下列四個結(jié)論:
①f(x)是周期函數(shù);
②x=π是f(x)圖象的一條對稱軸;
③(-π,0)是f(x)圖象的一個對稱中心;
④當(dāng)x=
π
2
時,f(x)一定取最大值.
其中正確的結(jié)論的代號是( 。
A、①③B、①④C、②③D、②④
分析:依據(jù)f(x+
π
2
)
是偶函數(shù),可知f(x+
π
2
)=f(-x+
π
2
)進而推斷函數(shù)f(x)是以π為周期的函數(shù).依據(jù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),可得f(x)關(guān)于原點對稱.依題意不能斷定函數(shù)一定有最值.最后斷定①③正確.
解答:解:∵f(x+
π
2
)
是偶函數(shù)
∴f(x+
π
2
)=f(-x+
π
2
)=f(x-
π
2
)=f(x+
π
2
-π)
∴f(x)=f(x-π),即函數(shù)f(x)是以π為周期的函數(shù).
∴①是正確的.
∵f(x)為定義在R上的奇函數(shù)
∴f(x)關(guān)于原點對稱,
∵π為函數(shù)的周期,
∴f(x)亦關(guān)于(π,0),(-π,0)對稱,
故②不正確,③正確.
∵函數(shù)f(x)不一定有最大值,故④不正確.
故選A
點評:本題主要考查函數(shù)的周期性.要利用好周期函數(shù)的奇偶性來判斷函數(shù)的對稱性.
練習(xí)冊系列答案
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實數(shù)x=1的取值范圍.

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8、已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(1)=1,且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2009)=( 。

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已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上是增函數(shù),設(shè)a=f(log47),b=f(log
12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系
a>b>c
a>b>c

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