Question

13．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為BB₁，CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A₁D₁E的距離為$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出點(diǎn)F到平面A₁D₁E的距離．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角系，
A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，1，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$=（1，0，0），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
設(shè)平面A₁D₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=x+y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
∴點(diǎn)F到平面A₁D₁E的距離為d=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．