Question

某公司準(zhǔn)備推出一個(gè)新產(chǎn)品，打算撥出款項(xiàng)3萬6千元在本地的電視臺(tái)做廣告，．當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)廣告部安排該公司的廣告在晚上八點(diǎn)前和九點(diǎn)后做廣告．晚八點(diǎn)前的廣告每秒400元，九點(diǎn)后的廣告每秒600元，每次播出的時(shí)間在10到60秒之間．
根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查研究表明，受廣告影響的人數(shù)依賴于廣告播出的時(shí)間以及年齡層次，受廣告影響的人數(shù)總是和廣告播出的時(shí)間成正比例．廣告時(shí)每秒影響各年齡組的人數(shù)（千人）估計(jì)如表所示．

現(xiàn)在的要求是廣告宣傳至少要影響1500000個(gè)年輕人，2000000個(gè)中年人和2000000個(gè)老年人．該公司也估計(jì)了在第一個(gè)月內(nèi)受廣告影響的人中，每10個(gè)年輕人中有1人、20個(gè)中年人中1人、50個(gè)老年人中1人將購買一件新產(chǎn)品＜并且假設(shè)沒有一個(gè)人第二次再買＞，則若使第一個(gè)月的銷售額最大，如何來安排廣告？

Answer 1

【答案】分析：本題是一個(gè)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系緊密的廣告策劃問題，本題涉及的變量較多，因此弄清問題的意義，確定變量并尋找變量間的關(guān)系就顯得特別重要．在分析過程中我們可以分以下幾個(gè)方面來進(jìn)行考慮：（1）題目里有哪些變量，哪個(gè)是主要變量，哪個(gè)是制約變量．（2）變量之間滿足什么等量（或不等）關(guān)系．（3）如果用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來刻畫，解答這個(gè)問題．（4）由（3）的分析計(jì)算我們能夠得到什么樣的結(jié)論．
解答：解：（1）變量情況．
主要變量：限制在10秒和60秒之間的兩次廣告時(shí)間；
制約變量：總的費(fèi)用≤36000元，需影響年輕人數(shù)≥1500千人，
需影響中年人數(shù)≥2000千人，需影響老年人數(shù)≥2000千人．
（2）變量間的關(guān)系：
總的費(fèi)用=（購買的時(shí)間×每秒價(jià)格）之和；
影響的人數(shù)=（購買的時(shí)間×相應(yīng)年齡組每秒影響的人數(shù)）之和；
銷售額=（占影響人數(shù)的份額×對(duì)應(yīng)組影響的人數(shù)）之和．
（3）建模與求解：記x、y分別表示早、晚購買的時(shí)間（秒）；
S=第一個(gè)月的銷售額（用千人表示），C=總的費(fèi)用（元）；
Y、M、O分別表示年輕、中年、老年組受到廣告影響的人數(shù)（千人）．
于是有：
C=400x+600y≤3600，
Y=30x+50y≥1500，
M=100x+80y≥2000，（*）
O=50x+40y≥2000，
10≤x≤60，10≤y≤60
要求S=0.1Y+0.05M+0.02O=9x+9.8y的最大值．
符合約束條件（*）的點(diǎn)（x，y）在如上圖所示的六邊形區(qū)域內(nèi)，
求S=9x+9.8y的最大值轉(zhuǎn)化為求直線y=9x/9.8+S/9.8的截距S/9.8的最大值．
由圖知，當(dāng)此直線過圖中直線400x+600y=3600和x=60的交點(diǎn)A（60，20）時(shí)，
截距最大，此時(shí)Smax=9×60+9.8×20=736（千人）．
（4）結(jié)論：如上討論可知，滿意的結(jié)果是第一個(gè)月的銷售額是736000（份）
只要購買晚八叫點(diǎn)前60秒和九點(diǎn)后20秒的廣告即可．
此時(shí)，花掉了所有的預(yù)算并超過所有年齡組所要求影響的人數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：現(xiàn)實(shí)生活中的優(yōu)化問題一般有幾種不同的解法，當(dāng)現(xiàn)實(shí)問題中出現(xiàn)有兩個(gè)以上變量的制約時(shí)，多用線性規(guī)劃的問題來解決，在分析問題的過程中要注意從以下幾個(gè)方面來進(jìn)行考慮：（1）題目里有哪些變量，哪個(gè)是主要變量，哪個(gè)是制約變量．（2）變量之間滿足什么等量（或不等）關(guān)系．（3）如果用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來刻畫，解答這個(gè)問題．（4）由（3）的分析計(jì)算我們能夠得到什么樣的結(jié)論．