Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，若g（x）=f（x）+

2

x

+x-2-b（b∈R）．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)0＜m＜n時(shí)，求證：f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

．

Answer 1

分析：（1）切線斜率為f′（1），f（1）=0，由點(diǎn)斜式可求切線方程；
（2）表示出g（x），求得g′（x），利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的極小值為g（1），由函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，可得

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，解出不等式組即可；
（3）要證f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

，可轉(zhuǎn)化為證明ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-x-1，x∈（0，1），利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可作出作出大小比較；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

，則切線斜率k=f′（1）=1，f（1）=0，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為y=x-1；
（2）g（x）=lnx+

2

x

+x-2-b，（x＞0），
g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

，
由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，
所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），
當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極小值g（1），
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，即解得1＜b≤

2

e

+e-1，
所以b的取值范圍是（1，

2

e

+e-1]；
證明：（3）當(dāng)0＜m＜n時(shí)，要證f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

，即證ln（m+n）-ln2n＜

m-n

2n

，即證ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-x-1，x∈（0，1），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）=

1

x

-1＞0，
所以函數(shù)h（x）在（0，1）上遞增，
又0＜

m+n

2n

＜1，所以h（

m+n

2n

）＜h（1），即ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，
所以f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想，（3）問(wèn)中對(duì)不等式作等價(jià)變形后構(gòu)造函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，應(yīng)注意歸納總結(jié)．