Question

已知(x

x

+

1

3 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為37．
（1）求x的整數(shù)次冪的項(xiàng)；
（2）展開式中第幾項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大于相鄰兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）據(jù)前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為37，求出n；再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為整數(shù)得到x的整數(shù)次冪的項(xiàng)
（2）據(jù)二項(xiàng)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，再利用組合數(shù)公式證明．

解答：解：（1）(x

x

+

1

3 x

)n展開式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為
C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
解得n=8
∴(x

x

+

1

3 x

)n=(x

x

+

1

3 x

)8的展開式的通項(xiàng)為
Tr+1=

C

r 8

 (x

x

)8-r(

1

3 x

)r=

C

r 8

x12-

11r

6

當(dāng)r=0，6時(shí)，x的指數(shù)為整數(shù)
∴x的整數(shù)次冪的項(xiàng)有x¹²，28x
（2）展開式共有9項(xiàng)
據(jù)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
故展開式第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大于相鄰兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
證明：∵展開式第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

4 8

=

8×7×6×5

1×2×3×4

=70
展開式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C₈³
展開式第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C₈⁵
∵

C

5 8

=

C

3 8

=

8×7×6

1×2×3

=56＜70
故有展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大于相鄰兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具；考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；考查組合數(shù)公式．