Question

如圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖．
（Ⅰ）若F為PD的中點，求證：AF⊥平面PCD；
（Ⅱ）證明：BD∥平面PEC；
（Ⅲ）求平面PEC與面PDC所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析：由三視圖知，此幾何體底面是一個邊長為4的正方形，兩線段PA與EB垂直于底面ABCD，PA=4，EB=2，故以AB方向為X軸，以AD方向為Y軸，以AP方向為Z軸，給出圖形中各點的坐標，
（Ⅰ）求出線AF的方向向量，與平面PCD法向量，由兩者共線證AF⊥平面PCD；
（Ⅱ）取PC中點M，求證EM∥BD再由線面平行的判定定理證BD∥平面PEC；
（Ⅲ）求出平面PEC與面PDC的法向量，由公式求出銳二面角的大小即可．

解答：解：由三視圖知，此幾何體底面是一個邊長為4的正方形，兩線段PA與EB垂直于底面ABCD，PA=4，EB=2，故以AB方向為X軸，以AD方向為Y軸，以AP方向為Z軸，給出圖形中各點的坐標，A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）
，P（0，0，4），E（4，0，2）
（Ⅰ）若F為PD的中點，則F（0，2，2），故

AF

=（0，2，2），

PC

=（4，4，-4），

CD

=（-4，0，0），令平面PCD的法向量為

n1

=(x，y，z)，則

PC  • n1 =0 CD •  n1 =0

，即

4x+4y-4z=0 -4x=0

，即

y=z x=0

，令z=1，得

n1

=(0，1，1)，故有

AF

=2

n1

，即AF與平面的法向量方向平行，∴AF⊥平面PCD；
（Ⅱ）取PC中點M，連接EM，則M（2，2，2），則

EM

=（-2，2，0），又

BD

=（-4，4，0），故

BD

=2

EM

，于是EM∥BD，又EM在面PEC內(nèi)，BD不在面PEC內(nèi)
∴BD∥平面PEC；
（Ⅲ）由（I），平面PCD的法向量為

n1

=(0，1，1)，
又

PE

=（4，0，-2），

EC

=（0，4，-2），令面PEC的法向量為

n2

=(x，y，z)，則

PE • n2 =0 EC • n2 =0

，即

4x-2z=0 4y-2z=0

，即z=2x=2y，令x=1，得y=1，z=2，故

n2

=(1，1，2)故銳二面角的余弦是cosθ=|

n1•n2

|n1||n2|

|=

3

2 3

=

3

2

故θ=60°
即平面PEC與面PDC所成的銳二面角的大小為60°

點評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關鍵是建立空間坐標系，利用向量法求證線面垂直，線面平行，以及求面面夾角，利用空間向量求解立體幾何中的線面，面面位置關系及求線面角，二面角，是空間向量的重要應用，引入空間向量，大大降低了求解立體幾何問題時的問題時的推理難度，使得思考變得容易，但此法也有不足，從解題過程可以看出，用空間向量法解立體幾何問題，運算量不少，計算時要嚴謹，莫因運算出錯導致解題失�。�