Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=．
（I）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱錐C-PAB的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵在△ABD中，由于AD=4，BD=8，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．…（4分）
又BD?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）過P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴PO為棱錐P-ABC的高．
又△PAD是邊長為4的等邊三角形，
∴PO=×4=2．
又S_△ABC=S_△ABD
=•AD•BD
=16，
∴V_棱錐C-PAB=V_棱錐P-ABC
=×16×2
=．
分析：（Ⅰ）在△ABD中，由題意可得AD²+BD²=AB²，故AD⊥BD；由平面PAD⊥平面ABCD的性質定理可得，BD⊥平面PAD，最后由面面垂直的判定定理即可證得平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）過P作PO⊥AD交AD于O，則PO⊥平面ABCD，△PAD是邊長為4的等邊三角形，可求得PO=2，由V_棱錐C-PAB=V_棱錐P-ABC即可求得答案．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查棱錐的體積，熟練掌握線面垂直、面面垂直的判定定理是解決問題的先決條件，注重錐體體積輪換公式的考查，屬于中檔題．