Question

（本小題滿分14分）
已知二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，其中為非零常數(shù).設(shè).
（1）求的值；
（2）R如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若，且，求證：N

Answer 1

（1）（2）當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).
(其中, )
（3）① 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；② 假設(shè)當(dāng)N時(shí)，不等式成立，即，
則

  
. 
也就是說，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.
由①②可得，對(duì)N，都成立.

解析試題分析：（1）解：∵關(guān)于的不等式的解集為，
即不等式的解集為，
∴.
∴.
∴.
∴.    
(2)解法1:由(1)得.
∴的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/27/2/fxppe3.png" style="vertical-align:middle;" />.
∴. 
方程（*）的判別式
.  
①時(shí)，，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為
 
則時(shí)，；時(shí)，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)有極小值點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，由,得或，
若，則
故時(shí)，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)沒有極值點(diǎn). 
若時(shí)，
則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).
綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)