Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為

1

2

，點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線l，交y軸于點(diǎn)A，直線l′過點(diǎn)P且垂直于l，交y軸于點(diǎn)B、
（1）求橢圓的方程．
（2）試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點(diǎn)？若能，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵2a=4，

c

a

=

1

2

，∴a=2，c=1，b=

3

．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠0），
直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀），代入

x2

4

+

y2

3

=1，
整理，得（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-12=0．
∵x=x₀是方程的兩個(gè)相等實(shí)根，
∴2x₀=-

8k(y0-kx0)

3+4k2

，解得k=-

3x0

4y0

．
∴直線l的方程為y-y₀=-

3x0

4y0

（x-x₀）．
令x=0，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，

4y20+3x20

4y0

）．
又∵

x02

4

+

y02

3

=1，∴4y+3x0=12．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，

3

y0

）．
又直線l′的方程為y-y₀=

4y0

3x0

（x-x₀），
令x=0，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-

y0

3

）．
∴以AB為直徑的圓的方程為x•x+（y-

3

y0

）•（y+

y0

3

）=0．整理，得x²+y²+（

y0

3

-

3

y0

）y-1=0．
令y=0，得x=±1，
∴以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)（1，0）和（-1，0）．