Question

【題目】已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，若函數(shù)滿足（其中為函數(shù)的定義域，當時，恒成立，則稱為函數(shù)的“轉折點”，已知函數(shù)在區(qū)間上存在一個“轉折點”，則的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)已知函數(shù)，求出切線方程，構造函數(shù)，求導，根據(jù)導數(shù)判斷單調(diào)性，找出其轉折點，并討論的取值范圍。

由題可得，則在點處的切線的斜率，，

所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：，

即切線，

令，

則，且

，且，

，

（1）當時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當，，當，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，

所以當時，，不滿足題意，舍去，

（2）當時， （），則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當，，當，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，，所以當時，，不滿足題意，舍去，

（3）當，（），則在區(qū)間上單調(diào)遞增，取，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當時，恒成立，故為函數(shù)在區(qū)間上的一個“轉折點”，滿足題意。

（4）當，令，解得：，且,則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，取，故在上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，則當，，則，所以為函數(shù)在區(qū)間上的一個“轉折點”，滿足題意。

（5）當，（），則在區(qū)間上單調(diào)遞減，取，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，，當時，恒成立，故為函數(shù)在區(qū)間上的一個“轉折點”，滿足題意。

（6）當時， （），則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當，，當，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，

所以當時，，不滿足題意，舍去，

綜述所述：實數(shù)的取值范圍為，

故答案選B