Question

【題目】設函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的極值.

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）

【解析】

（1）由a=1，得函數(shù)f（x）的解析式，求出其導函數(shù)以及導數(shù)為0的根，通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出f（x）的極小值；（2）求導后按a 進行分類討論，求出a的范圍.

（1） 時， 函數(shù)的定義域為

令解得或（舍）

時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增

列表如下

		1
	-	0	+
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以時，函數(shù)的極小值為，函數(shù)無極大值.

（2） ，其中

當時，恒成立，單調(diào)遞增，又因為

所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，符合題意。

當時，恒成立，單調(diào)遞減，又因為

所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，符合題意。

當時，

時，，單調(diào)遞減，又因為

所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；

時，，單調(diào)遞增，又因為

所以當時符合題意，即

所以時，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；

所以的取值范圍是