Question

【題目】知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若是的唯一極值點(diǎn)，求．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)， ，定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)，解，即可得出單調(diào)性．

（2）由題意可得：，求導(dǎo)得，由于是的唯一極值點(diǎn)，則有以下兩種情形：情形一：對(duì)恒成立．情形二：對(duì)恒成立．設(shè)，對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解：（1）當(dāng)時(shí)， ，定義域?yàn)?/span>．

，

解，解得．

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．

（2）由題意可得：，．

，．

由于是的唯一極值點(diǎn)，則有以下兩種情形：

情形一：對(duì)恒成立．

情形二：對(duì)恒成立．

設(shè)．．

①當(dāng)時(shí)，．則．

可得時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，∴．滿足題意．

②當(dāng)時(shí)，．在單調(diào)遞增．

又．∴存在，使得．

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，∴，這與題意不符．

③當(dāng)時(shí)，設(shè)．，

令，解得．

可得在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

i）當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減，

可得，在上單調(diào)遞減，

∴，這與題意矛盾，舍去．

ii）當(dāng)時(shí)， ，由的單調(diào)性及，

可知：時(shí)，都有．

又在上單調(diào)遞增，，

則存在，使得．

∴時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

∴，這與題意矛盾，舍去．

綜上可得：．