2．給出下列命題：
（1）若0＜x＜$\frac{π}{2}$，則sinx＜x＜tanx．
（2）若-$\frac{π}{2}$＜x＜0，則sinx＜x＜tanx．
（3）設(shè)A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，若A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC．
（4）設(shè)A，B是鈍角△ABC的兩個銳角，則sinA＞cosB．
其中，正確命題的個數(shù)為（　　）
A．4B．3C．2D．1

分析 （1）根據(jù)單位圓以及三角函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．
（2）利用特殊值法進行排除，
（3）根據(jù)正弦定理進行判斷
（4）利用特殊值法進行排除．

解答 解：（1）設(shè)角x的終邊與單位圓的交點為P，PB⊥x軸，B為垂足，
單位圓和x軸的正半軸交于點A，AQ⊥x軸，且點Q∈OP，
如圖所示，則|PB|=sinx，$\widehat{PA}$=x，|AQ|=tanx，
由于△POA的面積小于扇形POA的面積，扇形POA的面積小于
△AOQ的面積，
故有$\frac{1}{2}$|OA|•|PB|＜$\frac{1}{2}$$\widehat{PA}$•|OA|＜$\frac{1}{2}$|OA|•|AQ|，即|PB|＜$\widehat{PA}$＜|AQ|，即 sinx＜x＜tanx．故（1）正確，
（2）當x=-$\frac{π}{4}$時，sinx=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tanx=-1，則sinx＞tanx，則sinx＜x＜tanx不成立，故（2）錯誤，
（3）設(shè)A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，若A＞B＞C，則a＞b＞c，由正弦定理得sinA＞sinB＞sinC．故（3）正確，
（4）設(shè)A，B是鈍角△ABC的兩個銳角，當C=120°，A=B=30°時，滿足條件．但sinA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
則sinA＞cosB不成立，故（4）錯誤，
故正確的是（1）（3），
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及解三角形的應(yīng)用，涉及的知識點較多，但難度不大．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=kxlnx（k≠0）有極小值$-\frac{1}{e}$．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x-2ex-1，證明：當x＞0時，exf（x）＞g（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與冪函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象相交于P，且過雙曲線C的左焦點F（-1，0）的直線與函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象相切于P，則雙曲線C的離心率為（　　）
A．$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$B．$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$C．$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$D．$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．下列說法中，正確的有（　　）
①用反證法證明命題“a，b∈R，方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時，要作的假設(shè)是“方程至多有兩個實根”；
②用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1，在驗證n=1時，左邊的式子是1+2+22；
③用數(shù)學(xué)歸納法證明$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＞$\frac{13}{24}$（n∈N*）的過程中，由n=k推導(dǎo)到n=k+1時，左邊增加的項為$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$，沒有減少的項；
④演繹推理的結(jié)論一定正確；
⑤要證明“$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$＞$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$”的最合理的方法是分析法．
A．①④B．④C．②③⑤D．⑤

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．已知點F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，過點F且斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的直線l與圓x2+y2=a2相切，則雙曲線的離心率為（　　）
A．$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$B．$\sqrt{5}$C．2D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

7．設(shè)點F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，點F到漸近線的距離與雙曲線的兩焦點間的距離的比值為1：6，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�
A．2$\sqrt{2}$x±y=0B．x±2$\sqrt{2}$y=0C．x±3$\sqrt{2}$y=0D．3$\sqrt{2}$x±y=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．函數(shù)y=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）的單調(diào)增區(qū)間（　　）
A．[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）B．[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）
C．[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）D．[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π） 的部分圖象如圖所示，
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$，x∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期T及在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（II）在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A，B，C，已知A為銳角，a=3$\sqrt{3}$，c=6，且f（A）是函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值，求△ABC面積．

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