Question

如圖為一簡單組合體，其底面 ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）求四棱錐B-CEPD的體積．

Answer 1

分析：（1）先證明線面平行，從而可得面面平行，進(jìn)而可線面平行；
（2）先證明平面PDCE⊥平面ABCD，從而可得BC⊥平面PDCE，進(jìn)而可求四棱錐B-CEPD的體積．

解答：（1）證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA----------（2分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C
∴平面BEC∥平面PDA-------（4分）
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA-------（6分）
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD
∴BC⊥平面PDCE----------（8分）
∵S梯形PDCE=

1

2

(PD+EC)•DC=

1

2

×3×2=3------（10分）
∴四棱錐B-CEPD的體積VB-CEPD=

1

3

S梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2．----------（12分）

點(diǎn)評：本題考查面面平行、線面平行的判定與性質(zhì)，考查四棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．