Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+1，g（x）=4^x-4•2^x-a，其中a∈R．
（1）當a=0時，求函數(shù)g（x）的值域；
（2）若對任意x∈[0，2]，均有|f（x）|≤2，求a的取值范圍；
（3）當a＜0時，設(shè)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞a}\\{g（x），x≤a}\end{array}\right.$，若h（x）的最小值為-$\frac{7}{2}$，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，g（x）=（2^x-2）²-4，即可求函數(shù)g（x）的值域；
（2）分類討論，|f（x）|≤2，可化為-2≤x²-ax+1≤2，分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍；
（3）分類討論，利用配方法，結(jié)合h（x）的最小值為-$\frac{7}{2}$，求實數(shù)a的值．

解答 解：（1）當a=0時，g（x）=（2^x-2）²-4，…（2分）
因為2^x＞0，
所以g（x）≥g（2）=-4，g（x）的值域為[-4，+∞）．…（4分）
（2）若x=0，a∈R．
若x∈（0，2]時，|f（x）|≤2可化為-2≤x²-ax+1≤2    …（6分）
所以x-$\frac{1}{x}$≤a≤x+$\frac{3}{x}$．…（7分）
因為y=x-$\frac{1}{x}$在（0，2]為遞增函數(shù)，所以函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$的最大值為$\frac{3}{2}$，…（8分）
因為x+$\frac{3}{x}$≥2$\sqrt{3}$（當且僅當x=$\frac{3}{x}$，即x=$\sqrt{3}$取“=”）  …（9分）
所以a的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，2$\sqrt{3}$]．  …（10分）
（3）因為h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞a}\\{g（x），x≤a}\end{array}\right.$，
當x≤a時，h（x）=4^x-4•2^x-a，…（11分）
令t=2^x，t∈（0，2^a]，則p（t）=（t-$\frac{2}{{2}^{a}}$）²-$\frac{4}{{4}^{a}}$，
當x≤a時，即${2}^{a}≤\frac{2}{{2}^{a}}$，P（t）∈[4^a-4，0）； …（12分）
當x＞a時，k（x）=x²-ax+1，即k（x）=$（x-\frac{a}{2}）^{2}+1-\frac{{a}^{2}}{4}$，
因為a＜0，所以$\frac{a}{2}$＞a，h（x）∈[1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，+∞）． …（14分）
若4^a-4=-$\frac{7}{2}$，a=-$\frac{1}{2}$，此時1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$\frac{15}{16}$＞$-\frac{7}{2}$，
若1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$-\frac{7}{2}$，即a=$-3\sqrt{2}$，此時4^a-4=${4}^{-3\sqrt{2}}$-4＜-$\frac{7}{2}$，
所以實數(shù)a=$-\frac{1}{2}$． …（16分）

點評 本題考查函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學思想，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．