分析 (1)由矩形性質(zhì)得出EF⊥DF,EF⊥AF,故EF⊥平面AFD,得出EF⊥DG;
(2)證明DG⊥平面ABEF,以G為原點建立空間直角坐標(biāo)系,求出→GA和平面BCF的法向量→n的坐標(biāo),則GA與平面BCF所成角的正弦值為|cos<→GA,→n>|;
(3)設(shè)P(0,0,k)(0≤k≤√3),→FQ=λ→FC(0≤λ≤1),求出→PQ的坐標(biāo),令→PQ•→GD=0得出k與λ的關(guān)系,得出|→PQ|關(guān)于λ的函數(shù),根據(jù)λ的范圍求出函數(shù)的最小值.
解答 (1)證明:∵E,F(xiàn)分別正方形ABCD的邊BC,DA的中點,
∴EF⊥DF,EF⊥AF,
又DF?平面ADF,AF?平面ADF,DF∩AF=F,
∴EF⊥平面ADF,
∵DG?平面ADF,
∴DG⊥EF.
(2)∵DF=AF,∠DFA=60°,
∴△ADF是等邊三角形,
∵G是AF的中點,∴DG⊥AF.
又EF⊥DG,EF,AF?平面ABEF,AF∩EF=F,
∴DG⊥平面ABEF.
設(shè)BE中點為H,連結(jié)GH,則GA,GD,GH兩兩垂直,
以G為原點,以GA,GH,GD為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖:
則G(0,0,0),A(1,0,0),B(1,4,0).C(0,4,√3),F(xiàn)(-1,0,0).
∴→GA=(1,0,0),→BC=(-1,0,√3),→BF=(-2,-4,0).
設(shè)平面BCF的法向量為→n=(x,y,z),則{→n•→BC=0→n•→BF=0,
∴{−x+√3z=0−2x−4y=0,令z=2得→n=(2√3,-√3,2).
∴→n•→GA=2√3,|→n|=√19,|→GA|=1.
∴cos<→n,→GA>=→n•→GA|→n||→GA|=2√5719.
∴直線GA與平面BCF所成角的正弦值為2√5719.
(3)設(shè)P(0,0,k)(0≤k≤√3),→FQ=λ→FC(0≤λ≤1),
則→FP=(1,0,k),→FC=(1,4,√3),∴→FQ=(λ,4λ,√3λ),
∴→PQ=→FQ−→FP=(λ-1,4λ,√3λ-k).
∵DG⊥平面ABEF,∴→GD=(0,0,√3)為平面ABEF的一個法向量.
∵PQ∥平面ABEF,∴→PQ⊥→GD,∴→PQ•→GD=√3(√3λ−k)=0,
∴k=√3λ.
∴|→PQ|=√(λ−1)2+16λ2+(√3λ−k)2=√17λ2−2λ+1=√17(λ−117)2+1617.
∴當(dāng)λ=117時,|→PQ|取得最小值4√1717.
點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),線面角的計算,空間向量在幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4 | B. | 8 | C. | √3 | D. | 2√2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | B=π3 | B. | 2b=a+c | ||
C. | △ABC是直角三角形 | D. | a2=b2+c2或2B=A+C |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 39√3 | B. | 78√3 | C. | 39 | D. | 78 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -1 | B. | -√22 | C. | 0 | D. | √22 |
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