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2.如圖,正方形ABCD的邊長為4,E,F(xiàn)分別為BC,DA的中點,將正方形ABCD沿著線段EF折起,使得∠DFA=60°,設(shè)G為AF的中點.
(1)求證:DG⊥EF;
(2)求直線GA與平面BCF所成角的正弦值;
(3)設(shè)P,Q分別為線段DG,CF上一點,且PQ∥平面ABEF,求線段PQ長度的最小值.

分析 (1)由矩形性質(zhì)得出EF⊥DF,EF⊥AF,故EF⊥平面AFD,得出EF⊥DG;
(2)證明DG⊥平面ABEF,以G為原點建立空間直角坐標(biāo)系,求出GA和平面BCF的法向量n的坐標(biāo),則GA與平面BCF所成角的正弦值為|cos<GAn>|;
(3)設(shè)P(0,0,k)(0≤k≤3),FQFC(0≤λ≤1),求出PQ的坐標(biāo),令PQGD=0得出k與λ的關(guān)系,得出|PQ|關(guān)于λ的函數(shù),根據(jù)λ的范圍求出函數(shù)的最小值.

解答 (1)證明:∵E,F(xiàn)分別正方形ABCD的邊BC,DA的中點,
∴EF⊥DF,EF⊥AF,
又DF?平面ADF,AF?平面ADF,DF∩AF=F,
∴EF⊥平面ADF,
∵DG?平面ADF,
∴DG⊥EF.
(2)∵DF=AF,∠DFA=60°,
∴△ADF是等邊三角形,
∵G是AF的中點,∴DG⊥AF.
又EF⊥DG,EF,AF?平面ABEF,AF∩EF=F,
∴DG⊥平面ABEF.
設(shè)BE中點為H,連結(jié)GH,則GA,GD,GH兩兩垂直,
以G為原點,以GA,GH,GD為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖:
則G(0,0,0),A(1,0,0),B(1,4,0).C(0,4,3),F(xiàn)(-1,0,0).
GA=(1,0,0),BC=(-1,0,3),BF=(-2,-4,0).
設(shè)平面BCF的法向量為n=(x,y,z),則{nBC=0nBF=0,
{x+3z=02x4y=0,令z=2得n=(23,-3,2).
nGA=23,|n|=19,|GA|=1.
∴cos<n,GA>=nGA|n||GA|=25719
∴直線GA與平面BCF所成角的正弦值為25719
(3)設(shè)P(0,0,k)(0≤k≤3),FQFC(0≤λ≤1),
FP=(1,0,k),FC=(1,4,3),∴FQ=(λ,4λ,3λ),
PQ=FQFP=(λ-1,4λ,3λ-k).
∵DG⊥平面ABEF,∴GD=(0,0,3)為平面ABEF的一個法向量.
∵PQ∥平面ABEF,∴PQGD,∴PQGD=33λk)=0,
∴k=3λ
∴|PQ|=λ12+16λ2+3λk2=17λ22λ+1=17λ1172+1617
∴當(dāng)λ=117時,|PQ|取得最小值41717

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),線面角的計算,空間向量在幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.

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