Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n(n+1)(4n-1)

6

，n∈N^*
（1）求a₁的值．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

5

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）令n=1直接計(jì)算即可；
（2）根據(jù)S_n與a_n的關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用

n2

an2

=

n2

n2(2n-1)2

＜

1

(2n-1)(2n-3)

并項(xiàng)即可計(jì)算．

解答： 解：（1）a₁=S₁=

1×2×3

6

=1；

（2）a_n=S_n-S_n-1
=

n(n+1)(4n-1)

6

-

(n-1)n(4n-5)

6

=n（2n-1）；
顯然，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1×（2×1-1）=1，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（2n-1）．

（3）根據(jù)（2）可得：
a_n=n（2n-1），
故

n2

an2

=

n2

n2(2n-1)2

=

1

(2n-1)2

＜

1

(2n-1)(2n-3)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)，
所以

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

)
=

1

2

(1-

1

2n-1

)
∵當(dāng)n=1時(shí)，原式=1＜

5

4

，
 當(dāng)n=2時(shí)，原式=

1

3

，
∴原式＜

5

4

，
故對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，是數(shù)列與不等式相結(jié)合的綜合題，難度較大，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．