Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

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x³+ax²+bx+c（a＜0）在x=0處取得極值-1．
（1）設(shè)點A（-a，f（-a）），求證：過點A的切線有且只有一條；并求出該切線方程．
（2）若過點（0，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，求a的取值范圍；
（3）設(shè)曲線y=f（x）在點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）處的切線都過點（0，0），證明：f′（x₁）≠f′（x₂）．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）=

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x³+ax²+bx+c（a＜0）在x=0處取得極值-1，則f^′（0）=0，f（0）=-1，由此可得b和c的值，然后設(shè)出切點坐標(biāo)，寫出切線方程，把A點的坐標(biāo)代入切線方程即可求得切點坐標(biāo)，從而說明過點A的切線有且只有一條并求出該切線方程；
（2）根據(jù)過點（0，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，求出過（0，0）的切線方程方程得

2

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x03+ax02+1=0，說明該方程應(yīng)有三個不同的實數(shù)根，利用導(dǎo)函數(shù)求出該方程對應(yīng)函數(shù)的極值，則其極大值要大于0，極小值要小于0，由此列式可求a的取值范圍；
（3）利用反證法，假設(shè)f′(x1)=f′(x2)，代入整理后可得x₁+x₂=-2a．再由（2）可得

2 3 x13+ax12+1=0 2 3 x23+ax22+1=0

，兩式作差后得到

2

3

(x22+x1x2+x12)+a(x1+x2)=0．把x₁+x₂=-2a代入可得x1x2=a2，而利用基本不等式得到x1x2＜a2，從而得到矛盾，說明假設(shè)錯誤，得到要證的結(jié)論正確．

解答：（1）證明：由f（x）=

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3

x³+ax²+bx+c（a＜0），得：f^′（x）=x²+2ax+b，
由題意可得f^′（0）=0，f（0）=-1，解得b=0，c=-1．
∴f(x)=

1

3

x3+ax2-1．
經(jīng)檢驗，f（x）在x=0處取得極大值．
設(shè)切點為（x₀，y₀），則切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)
即為y=(x02+2ax0)x-

2

3

x03-ax02-1
把（-a，f（-a））代入方程可得x03+3ax02+3a2x0+a3=0，
即(x0+a)3=0，所以x₀=-a．
即點A為切點，且切點是唯一的，故切線有且只有一條．
所以切線方程為a2x+y+

1

3

a3+1=0；
（2）解：因為切線方程為y=(x02+2ax0)x-

2

3

x03-ax02-1，
把（0，0）代入可得

2

3

x03+ax02+1=0，
因為有三條切線，故方程得

2

3

x03+ax02+1=0有三個不同的實根．
設(shè)g(x)=

2

3

x3+ax2+1（a＜0）
g^′（x）=2x+2ax，令g^′（x）=2x+2ax=0，可得x=0和x=-a．
當(dāng)x∈（-∞，0）時，g^′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，-a）時，g^′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（-a，+∞）時，g^′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
所以，當(dāng)x=0時函數(shù)g（x）取得極大值為g（0）=1＞0．
當(dāng)x=-a時函數(shù)g（x）取得極小值，
極小值為g(-a)=

2

3

×(-a)3+a•(-a)2+1=

1

3

a3+1．
因為方程有三個根，故極小值小于零，

1

3

a3+1＜0，所以a＜-

3	3

．
（3）證明：假設(shè)f′(x1)=f′(x2)，則x12+2ax1=x22+2ax2，
所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）=-2a（x₁-x₂）
因為x₁≠x₂，所以x₁+x₂=-2a．
由（2）可得

2 3 x13+ax12+1=0 2 3 x23+ax22+1=0

，兩式相減可得

2

3

(x23-x13)+a(x22-x12)=0．
因為x₁≠x₂，故

2

3

(x22+x1x2+x12)+a(x1+x2)=0．
把x₁+x₂=-2a代入上式可得，x22+x1x2+x12=3a2，
所以(x1+x2)2-x1x2=3a2，(-2a)2-x1x2=3a2．
所以x1x2=a2．
又由x1x2＜(

x1+x2

2

)2=(

-2a

2

)2=a2，這與x1x2=a2矛盾．
所以假設(shè)不成立，即證得f′(x1)≠f′(x2)．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的極值點間的關(guān)系，訓(xùn)練了反證法，此題綜合性較強，屬于有一定難度的題目．