Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+1$，其中向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}，2sin\frac{ωx}{2}）$，$\overrightarrow b=（sinωx，-sin\frac{ωx}{2}）$，ω＞0，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最小值，并求出相應(yīng)的x的取值集合；
（3）將f（x）的圖象向左平移φ個(gè)單位，所得圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱(chēng)，求φ的最小正值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及輔助角公式可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由正弦函數(shù)的周期公式可求得ω的值；
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得f（x）的最小值，及相應(yīng)的x的取值集合；
（3）依題意，可得f（x+φ）=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$），再由圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱(chēng)，可得$ϕ=\frac{kπ}{2}-\frac{5π}{12}，k∈Z$，從而可求φ的最小正值．

解答 解：（1）由已知得：f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$+1=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）…（4分）
因?yàn)閒（x）的最小正周期為π，所以ω=2 …（6分）
（2）因?yàn)?f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，所以f（x）最小值為-2，此時(shí)滿(mǎn)足$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}+2kπ$，則$x=-\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$，
因此x的取值集合為$\{\left.x\right|x=-\frac{π}{3}+kπ，k∈Z\}$…（10分）
（3）$f（x+φ）=2sin（2（x+φ）+\frac{π}{6}）=2sin（2x+2φ+\frac{π}{6}）$，
由題意得$2×\frac{π}{3}+2φ+\frac{π}{6}=kπ$，$φ=\frac{kπ}{2}-\frac{5π}{12}，k∈Z$，
所以φ得最小值$\frac{π}{12}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換及其應(yīng)用，平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及輔助角公式，y考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象變換，屬于中檔題．