Question

已知函數(shù)f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-1，x∈R．
（1）求函數(shù)的最小正周期、最大值及取最大值時自變量的取值集合；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c；若a，b，c成等比數(shù)列，且c=2a，求f（B-

π

12

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出；
（2）利用等比數(shù)列、余弦定理、同角三角函數(shù)基本關系式即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-1=2cos2x+2

3

sin2x+1=4sin(2x+

π

6

)+1，
∴函數(shù)f（x） 的最小正周期T=

2π

2

=π，
∵sin(2x+

π

6

)≤1，∴f（x）≤4+1=5，
因此函數(shù)f（x）的最大值為5，對應的自變量x的取值集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）∵在△ABC中，a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac．又c=2a．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-ac

2a×2a

=

3

4

．∴sinB=

7

4

．
∴f（B-

π

12

）=4sin2B+1=8sinBcosB+1=

3 7 +2

4

．

點評：本題考查了倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)、等比數(shù)列、余弦定理、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．