Question

9．已知f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$（-＜x，1）．
（I） 判斷f（x）的奇偶性，并予以證明；
（Ⅱ）設(shè)f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）=f（x₀），求x₀的值．
（Ⅲ）求證：對(duì)于f（x）的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，都有f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）．

Answer 1

分析 （I）利用奇偶性的定義，看f（-x）和f（x）的關(guān)系，注意到$\frac{1+x}{1-x}$和$\frac{1-x}{1+x}$互為倒數(shù)，其對(duì)數(shù)值互為相反數(shù)；也可計(jì)算f（-x）+f（x）=0得到結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)題意得到關(guān)于x₀的方程，解方程可得x₀的值；
（Ⅲ）將a與b代入函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$（-＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后計(jì)算出f（$\frac{a+b}{1+ab}$）的值，從而證得結(jié)論．

解答 解：（I）f（x）是奇函數(shù)，理由如下：
 f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
又∵f（-x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$=-lg$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1）．
∴由f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）=f（x₀）得到：lg$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$+lg$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=lg$\frac{1+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$，
整理，得
lg^3×2=lg$\frac{1+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$，
∴$\frac{1+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$=6，
解得x₀=$\frac{5}{7}$；
（Ⅲ）證明：∵f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$（-＜x，1）．
∴f（a）+f（b）=lg$\frac{1+a}{1-a}$+lg$\frac{1+b}{1-b}$=lg$\frac{1+a}{1-a}$•$\frac{1+b}{1-b}$=lg$\frac{1+a+b+ab}{1-a-b+ab}$，
f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=lg$\frac{1+\frac{a+b}{1+ab}}{1-\frac{a+b}{1+ab}}$=lg$\frac{1+a+b+ab}{1-a-b+ab}$，
∴對(duì)于f（x）的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，都有f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）．
得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域、奇偶性、單調(diào)性等知識(shí)，難度一般．