Question

12．對于同一平面的單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）的最大值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosα，-sinα），代入計(jì)算得到（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）=$\frac{1}{2}$+2sin（α-30°），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求．

解答 解：∵單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosα，-sinα），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$=（1-2cosα，-2sinα），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）=$\frac{1}{2}$-cosα+$\sqrt{3}$sinα=$\frac{1}{2}$+2sin（α-30°），
∵-1≤sin（α-30°）≤1，
∴-$\frac{3}{2}$≤$\frac{1}{2}$+2sin（α-30°）≤$\frac{5}{2}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）的最大值是$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$

點(diǎn)評 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)與方程思想，是中檔題．