Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點．
（Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．

Answer 1

（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中點，PA=AB，∴AN⊥PB．
∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．
又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．
∵DM?平面ADMN，∴PB⊥DM． …（6分）
解法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，
可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），，D（0，2，0）．
因為 ，所以PB⊥DM． …（6分）

（Ⅱ）解法1：取AD中點Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．
設(shè)BC=1，在Rt△BQN中，則，，故．
所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為． …（13分）
解法2：因為．
所以 PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，
因此的余角即是CD與平面ADMN所成的角．
因為 ．
所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為． …（13分）
分析：（Ⅰ）解法1 先由AD⊥PA．AD⊥AB，證出AD⊥平面PAB得出AD⊥PB．又N是PB的中點，PA=AB，得出AN⊥PB．證出PB⊥平面ADMN后，即可證出PB⊥DM．
解法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，通過證明證出PB⊥DM
（Ⅱ）解法1：取AD中點Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，所以CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．在Rt△BQN中求解即可．
解法2，通過 PB⊥平面ADMN，可知 是平面ADMN 的一個法向量，的余角即是CD與平面ADMN所成的角．
點評：本題主要考查空間角，距離的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．