Question

已知函數f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]．求證：當b＜-2時，在閉區(qū)間[-1，1]上總存在一個x，使得|f（x）|≥|b|成立．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值

專題：函數的性質及應用

分析：由條件利用二次函數的性質求得f（x）的最大值為f（-1）=1-b+c，f（x）的最小值為f（1）=1+b+c，分類討論c值，可得在f（-1）和f（1）中，至少有一個滿足|f（x）|≥|b|成立，從而證得結論．

解答： 解：∵b＜-2，∴二次函數f（x）=x²+bx+c的圖象的對稱軸x=-

b

2

＞1，故函數f（x）在[-1，1]上是減函數，
故f（x）的最大值為f（-1）=1-b+c，f（x）的最小值為f（1）=1+b+c．
①當c=0時，|f（-1）=|1-b|=1-b＞|b|成立．
②當-1≤c＜0時，0≤c+1＜1|f（-1）=|1-b+c|≥|-b|=|b|，即|f（-1）|≥|b|成立．
③當c＜-1時，c+1＜0，|f（1）=|1+b+c|≥|b|成立．
綜上可得，當b＜-2時，在f（-1）和f（1）中，至少有一個滿足|f（x）|≥|b|成立，
故當b＜-2時，在閉區(qū)間[-1，1]上總存在一個x，使得|f（x）|≥|b|成立．

點評：本題主要考查利用函數的單調性求函數的最值，二次函數的性質，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．