Question

（本小題滿分12分）已知，函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(1，)的切線方程；

(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個實數(shù)x₀，使>g(x_o)成立，求正實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 函數(shù)在點(1，)的切線方程為；

（Ⅱ）當(dāng)即時，的極大值是，極小值是

①         當(dāng)即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時，極大值為，無極小值

時  極大值是，極小值是  

（Ⅲ）（，）   .

 

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，求解函數(shù)的極值，并分析方程根的問題的綜合運用。

（1）先求解函數(shù)定義域和導(dǎo)數(shù)，然后得到切點處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，利用點斜式得到方程。

（2）因為是關(guān)于含有參數(shù)的二次函數(shù)形式，那么對于參數(shù)a分情況討論得到單調(diào)性和極值問題。

（3）構(gòu)造新的函數(shù)設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)的思想求解其最大值即可。便可以得到a的范圍。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當(dāng)時，  又 

∴  函數(shù)在點(1，)的切線方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

②         當(dāng)即時

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

故的極大值是，極小值是

③         當(dāng)即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時，極大值為，無極小值

時  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設(shè)，

對求導(dǎo)，得

∵，    

∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實數(shù)的取值范圍是（，）     ----------12分