Question

設(shè)a₀為常數(shù)，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）。
（1）證明對(duì)任意n≥1，有a_n=[3ⁿ+（-1）^n-12ⁿ]+（-1）ⁿ2ⁿa₀；
（2）假設(shè)對(duì)任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由已知a₁=1-2a₀，等式成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）等式成立，則
那么
 
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立
根據(jù)（i）和（ii），可知等式對(duì)任何n∈N₊，成立。
（2）由通項(xiàng)公式
 
∴
等價(jià)于 ①
（i）當(dāng)n=2k-1，k=1，2，…時(shí)，①式即為
即為②
②式對(duì)k=1，2，…都成立，有
（ii）當(dāng)n=2k，k=1，2，…時(shí)，①式即為
即為③
③式對(duì)k=1，2，…都成立，有

綜上，①式對(duì)任意n∈N*，成立，有
故a₀的取值范圍為。