Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x-3
（1）若函數(shù)f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=-9x+b，求b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，f′（x）=3x²-6x-9，根據(jù)函數(shù)在圖象上某點導數(shù)值和過該點切線斜率的關(guān)系即可求出x₀的值，從而求出切點的坐標，進而求出b的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象容易判斷導數(shù)的符號，根據(jù)極值的定義便可求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6x-9，
根據(jù)題意，$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}-9=-9$；
∴x₀=0，或2；
∴①當x₀=0時，f（x₀）=-3；
∴切線方程為y=-9x-3；
∴b=-3；
②當x₀=2時，f（x₀）=-25；
切線方程為y=-9x-7；
∴b=-7；
（2）f′（x）=3（x-3）（x+1）；
∴x＜-1時，f′（x）＞0，-1＜x＜3時，f′（x）＜0，x＞3時，f′（x）＞0；
∴f（x）的極大值為f（-1）=2，f（x）的極小值為f（3）=-30．

點評 考查函數(shù)在函數(shù)圖象上某點的導數(shù)的幾何意義，直線的點斜式方程，以及二次函數(shù)的圖象，極大值和極小值的概念及求法．