Question

如圖所示，直線x=2與雙曲線C：

x2

4

-y2=1的漸近線交于E₁，E₂兩點，記

OE1

=

e1

，

OE2

=

e2

，任取雙曲線C上的點P，若

OP

=a

e1

+b

e2

，則實數(shù)a和b滿足的一個等式是

4ab=1

．

Answer 1

分析：求出雙曲線C的漸近線方程為y=±

1

2

x，令x=2，得出直線x=2與雙曲線C的漸近線交于點E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得

e1

=（2，1），

e2

=（2，-1）．再設(shè)雙曲線C上的點P坐標為（x₀，y₀），根據(jù)

OP

=a

e1

+b

e2

，利用向量的坐標運算，可得點P坐標為（2a+2b，a-b），最后將這個坐標代入

x2

4

-y2=1，化簡后即可得到4ab=1，即為所求．

解答：解：∵雙曲線C的方程是

x2

4

-y2=1
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±

1

2

x
∴直線x=2與雙曲線C的漸近線交于點E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得

e1

=（2，1），

e2

=（2，-1），
設(shè)雙曲線C上的點P坐標為（x₀，y₀），
∵

OP

=a

e1

+b

e2

，
∴

x0=2a+2b y0=a-b

，即點P坐標為（2a+2b，a-b）
∵點P在雙曲線C：

x2

4

-y2=1上
∴

(2a+2b)2

4

-（a-b）²=1，即4ab=1
故答案為：4ab=1

點評：本題以向量的坐標運算為載體，考查了雙曲線的基本概念與簡單幾何性質(zhì)，以及平面向量基本定理等知識點，屬于基礎(chǔ)題．