定義在R上函數(shù)f（x）滿足條件：f（x+2）=
1
f(x)
，當(dāng)x∈（0，2）時，f(x)=(
1
2
)x，則f（2011）=
2
2
．
分析：函數(shù)解析式只知道一部分，而要求的函數(shù)值的自變量不在此區(qū)間上，由題設(shè)條件知本題中所給的函數(shù)是一個周期性函數(shù)，
故可以利用周期性這一性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到區(qū)間（0，2）上求解．
解答：解：由題意定義在R上的函數(shù)f（x），f（2+x）=
1
f(x)
，由此式恒成立可得，此函數(shù)的周期是4．
又當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）=(
1
2
)x，則f（1）=
1
2
，
由此f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=
1
f(1)
=2．
故答案為 2．
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是函數(shù)的值，本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)通過轉(zhuǎn)化來求函數(shù)的值，是函數(shù)性質(zhì)綜合運(yùn)用的一道好題．
對于本題中恒等式的意義要好好挖掘，做題時要盡可能的從這樣的等式中挖掘出信息．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列6個命題中正確命題個數(shù)是（　　）
①第一象限角是銳角；
②若cos（α+β）=-1，則sin（α+2β）+sinβ=0
③函數(shù)y=sin(
π
4
-2x)的增區(qū)間是(kπ+
3π
8
，kπ+
7π
8
)，k∈Z
④角α終邊經(jīng)過點(diǎn)（a，a），（a≠0）時，sinα+cosα=
2

⑤若y=sin（ωx）的周期為4π，則ω=
1
2

⑥若定義在R上函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），則y=f（x）是周期函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，且f(
x
5
)=
1
2
f(x)當(dāng)0≤x1＜x2≤1時，f（x1）≤f（x2），則f(
1
2011
)=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上函數(shù)f（x）部分自變量與函數(shù)值對應(yīng)關(guān)系如表，若f（x）為偶函數(shù)，且在[0，+∞）上為增函數(shù)，不等式-1≤f（x）＜3的解集是（　　）
x 0 2 3 4
y -1 1 2 3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=a（x-2）+2（2-x）3（a為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；?
（Ⅱ）設(shè)F(x)=(
f(x)x
+4lnx)′，當(dāng)m＞0時，判斷F（m3）與F（m2）的大小關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，對x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），當(dāng)f（-3）=-2 時，f （2007）的值為（　�。�

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