Question

已知f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x，
（1）寫(xiě)出該函數(shù)在[0，π]上單調(diào)遞減區(qū)間，
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并求其最值及取最值時(shí)x的取值；
（3）怎樣由y=sinx的圖象通過(guò)函數(shù)圖象的變換得到f（x）的圖象？請(qǐng)寫(xiě)出變換過(guò)程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)；令整體角在正弦的遞減區(qū)間內(nèi)，求出x的范圍與[0，π]的公共部分
（2）利用三角函數(shù)的周期公式求出周期；利用（1）中的單調(diào)性求出三角函數(shù)的最值．
（3）利用三角函數(shù)的伸縮變換規(guī)律及平移變換規(guī)律寫(xiě)出變換過(guò)程．

解答：解：（1）y=2-sin2x+cos2x=-

2

sin(2x-

π

4

)+2，
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π，
∴該函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

3

8

π]，[

7π

8

，π]．（4分）
（2）T=π，由（1）問(wèn)知：當(dāng)x=

7

8

π+kπ，(k∈Z)，
倍f（x）最大值為2+

2

，當(dāng)x=

3

8

π+kπ，(k∈Z)，f（x）最小值為2-

2

；（8分）
（3）y=sinx

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 1 2

y=sin2x

圖象向右平移 π 8 個(gè)單位

y=sin（2x-

π

4

）

橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍

y=

2

sin(2x-

π

4

)

作圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

y=-

2

sin(2x-

π

4

)

圖象向上平移2個(gè)單位

y=-

2

sin(2x-

π

4

)+2（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角的正弦公式、余弦公式、整體處理的數(shù)學(xué)思想方法求單調(diào)區(qū)間、
三角函數(shù)的周期公式、三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律．