[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣M=
1
c
b
2
有特征值λ1=4及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
2
3
，求曲線5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲線方程．
分析：由矩陣M=
1b
c2
有特征值λ1=4及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
2
3
，可得
1b
c2
2
3
=
8
12
，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩陣M；再設(shè)曲線上任一點P（x，y），P在M作用下對應(yīng)點為P′（x′，y′），利用矩陣變換得出兩點坐標(biāo)的關(guān)系式，代入曲線5x2+8xy+4y2=1后化簡可得曲線5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲線方程．
解答：解：由題意得
1b
c2
2
3
=
8
12
，
即2+3b=8，2c+6=12，
解得b=2，c=3，
所以M=
12
33
．設(shè)曲線上任一點P（x，y），P在M作用下對應(yīng)點P′（x′，y′），
則
x′
y′
=
12
32
x
y
，即
x′=x+2y
y′=3x+2y
，解之得
x=
y′-x′
2
y=
3x′-y/
4
，
代入5x2+8xy+4y2=1，得x′2+y′2=2．
即曲線5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲線方程是x2+y2=2．…（10分）
點評：本題考查的知識點是特征值與特征向量的計算，熟練掌握矩陣的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
ab
14
，若矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α1=
3
-1
，屬于特征值5的一個特征向量為α2=
1
1
．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選修4-2：矩陣與變換）在軍事密碼學(xué)中，發(fā)送密碼時，先將英文字母數(shù)學(xué)化，對應(yīng)如下表：
a b c d … z
1 2 3 4 … 26
如果已發(fā)現(xiàn)發(fā)送方傳出的密碼矩陣為
1441
32101
，雙方約定可逆矩陣為
12
34
，試破解發(fā)送的密碼．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）選做題
（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是半圓O的直徑，延長AB到C，使BC=
3
，CD切半圓于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AE：EB=3：1，求DE的長．
（B）選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx在矩陣
01
10
對應(yīng)的變換下得到的直線經(jīng)過點P（4，1），求實數(shù)k的值．
（C）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=asinθ（a＞0）與直線ρcos(θ+
π
4
)=1相切，求實數(shù)a的值．
（D）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c滿足abc=1，求證：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•福建）選修4-2：矩陣與變換
已知直線l：ax+y=1在矩陣A=
12
01
對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本�l′：x+by=1
（I）求實數(shù)a，b的值
（II）若點P（x0，y0）在直線l上，且A
x0
y
 
0
=
x0
y
 
0
，求點P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南京二模）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A=
3       5
0    -2
．
（1）求矩陣A的特征值和特征向量；
（2）設(shè)向量β=
   1   
-1
，求A5β．

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