Question

已知向量

e

=(1，0)，O是坐標(biāo)原點，動點P滿足：|

OP

|-

OP

•

e

=2
（1）求動點P的軌跡；
（2）設(shè)B、C是點P的軌跡上不同兩點，滿足

OB

=λ

OC

(λ≠0，λ∈R)，在x軸上是否存在點A（m，0），使得

AB

⊥

AC

，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）令P（x，y），由模的坐標(biāo)表示與內(nèi)積的坐標(biāo)表示即可得到點P的軌跡方程．
（2）設(shè)BC：x=ky設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），將直線的方程與點P的軌跡方程聯(lián)立得到B，C兩點的坐標(biāo)與參數(shù)k的關(guān)系，再由

AB

⊥

AC

，得到（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=0，建立起參數(shù)m，k的方程，由其形式作出判斷求參數(shù)的取值范圍，若能求出則說明存在，否則說明不存在．

解答：解：（1）令P（x，y），則

x2+y2

-(x-y)•(1，0)=2
∴

x2+y2

=x+2即y²=4（x+1）（4分）
（2）存在?-2≤m＜-1或m≥2使得

AB

⊥

AC

，
設(shè)BC：x=ky設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）

x=ky y2=4(x+1)

?y²-4ky-4=0
y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4（6分）
∵

AB

⊥

AC

     ∴

AB

•

AC

=0
即（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=0即
（k²+1）y₁y₂-mk（y₁+y₂）+m²=0（8分）
∴-4（k²+1）-mk-4k+m²=0
（4m+4）k²=m²-4（10分）
若存在則

m≠-1 m2-4 4(m+1) ≥0

?-2≤m＜-1或m≥2．（12分）

點評：本題考查平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示，解題的關(guān)鍵是由向量的坐標(biāo)表示與模與內(nèi)積的坐標(biāo)表示求出點P的軌跡方程以及利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及向量的內(nèi)積為0建立起參數(shù)的方程．本題綜合性強運算量大，思維含量較大，極易因變形及運算出錯，解題時要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．