Question

【題目】證明：方程6－3x＝2x在區(qū)間[1,2]內(nèi)只有一個實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解．(精確到0.1)

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：證明方程6﹣3x=2x在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，只需證明函數(shù)在[1，2]內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，根據(jù)增加增味增這個結(jié)論，可以判斷函數(shù)為增函數(shù)，再結(jié)合根的存在性定理，二分法求解即可。．

　設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，

又函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在R上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一的零點，則方程6－3x＝2x在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一的實數(shù)解．取區(qū)間[1,2]的中點x1＝1.5，

f(1.5)≈1.33>0，f(1)＝－1<0，∴函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6的零點在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)；

取區(qū)間[1,1.5]的中點x2＝1.25，

f(1.25)≈0.128>0，

∴函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6的零點在區(qū)間[1，1.25]內(nèi)；

取區(qū)間[1,1.25]的中點x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，

∴函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6的零點在區(qū)間[1.125,1.25]內(nèi)；

再取區(qū)間[1.125,1.25]的中點x4＝1.187 5，

可得f(1.187 5)≈－0.16<0.

∴函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6的零點在區(qū)間[1.187 5,1.25]內(nèi)．

∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5 <0.1，

∴方程的近似實數(shù)解為1.2.