Question

已知函數(shù)f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值為0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若對(duì)任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx²成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．]

 

Answer 1

【答案】

（1）a＝1.（2）

【解析】

試題分析：(1)f(x)的定義域?yàn)?－a，＋∞)．

f ′(x)＝1－＝.

由f ′(x)＝0，得x＝1－a>－a.

當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－a,1－a)	1－a	(1－a，＋∞)
f ′(x)	－	0	＋
f(x)	??	極小值

因此，f(x)在x＝1－a處取得最小值，

故由題意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.

(2)當(dāng)k≤0時(shí)，取x＝1，有f(1)＝1－ln2>0，

故k≤0不合題意．

當(dāng)k>0時(shí)，令g(x)＝f(x)－kx²，

即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx².

g′(x)＝－2kx＝.

令g′ (x)＝0，得x₁＝0，x₂＝>－1.

①當(dāng)k≥時(shí)，≤0，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減．從而對(duì)于任意的x∈[0，＋∞)，總有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx²在[0，＋∞)上恒成立．

故k≥符合題意．

②當(dāng)0<k<時(shí)， >0，對(duì)于x∈(0，)，g′(x)>0，故g(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增．因此當(dāng)取x₀∈(0，)時(shí)，g(x₀)>g(0)＝0，即f(x₀)≤kx不成立．

故0<k<不合題意．

綜上，k的最小值為.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)最值的運(yùn)用，屬于中檔題。