已知直線l：y=kx+1，橢圓E：
x2
9
+
y2
m2
=1(m＞0)．
（Ⅰ）若不論k取何值，直線l與橢圓E恒有公共點(diǎn)，試求出m的取值范圍及橢圓離心率e關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)k=
10
3
時(shí)，直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M．若
AM
=2
MB
，求橢圓E的方程．
（Ⅰ）∵直線l恒過定點(diǎn)M（0，1），且直線l與橢圓E恒有公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)M（0，1）在橢圓E上或其內(nèi)部，得
02
9
+
12
m2
≤1(m＞0)，
解得m≥1，且m≠3．（3分）
（聯(lián)立方程組，用判別式法也可）
當(dāng)1≤m＜3時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，e=
9-m2
3
；
當(dāng)m＞3時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，e=
m2-9
m
．
∴e=
9-m2
3
(1≤m＜3)
m2-9
m
(m＞3)
（6分）
（Ⅱ）由
y=
10
3
x+1
x2
9
+
y2
m2
=1
，消去y得(m2+10)x2+6
10
x+9(1-m2)=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
6
10
m2+10
①，x1x2=
9(1-m2)
m2+10
②．
∵M(jìn)（0，1），∴由
AM
=2
MB
得x1=-2x2③．（9分）
由①③得x2=
6
10
m2+10
④．
將③④代入②得，-2(
6
10
m2+10
)2=
9(1-m2)
m2+10
，解得m2=6（m2=-15不合題意，舍去）．
∴橢圓E的方程為
x2
9
+
y2
6
=1．（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+k+1，拋物線C：y2=4x，定點(diǎn)M（1，1）．
（I）當(dāng)直線l經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F時(shí)，求點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)N是否在拋物線C上；
（II）當(dāng)k（k≠0）變化且直線l與拋物線C有公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（a，1）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x0，y0），求x0關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式x0=f（k）；若P與M重合時(shí)，求x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+1與橢圓
x2
2
+y2=1交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
4
2
3
．求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知圓M：（x+1）2+y2=8及定點(diǎn)N（1，0），點(diǎn)P是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為PN的中點(diǎn)，PM上一點(diǎn)G滿足
GQ
•
NP
=0
（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，E（0，1），是否存在直線l，使得點(diǎn)N恰為△ABE的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+b是橢圓C：
x24
+y2=1的一條切線，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)．
（1）過F1，F(xiàn)2作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F1M|•|F2M|的值；
（2）若直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值，并求此時(shí)直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=kx-1與雙曲線C：x2-y2=4
（1）如果l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；
（2）如果l與C的左右兩支分別相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且|x1-x2|=2
5
，求k的值．

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