Question

已知可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）滿足f（x-2）=f（-x），函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1，則f′（1）=

2

，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（-3，f（-3））處的切線方程為

y=-2x-3

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，可求f′（1）的值，先確定確定坐標(biāo)，再求出切線斜率，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，
∴f′（1）就是函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率，故f′（1）=2
∵f（x-2）=f（-x），
∴f（-3）=f（-1-2）=f[-（-1）]=f（1）
又函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1
∴點(diǎn)（1，f（1））滿足切線方程，即f（1）=2×1+1=3
故f（-3）=f（1）=3
然后只要解出f′（-3）就行了．
對f（x-2）=f（-x）的等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：f′（x-2）×（x-2）′=f′（-x）×（-x）′
即f′（x-2）=-f′（-x）
∴f′（-3）=f′（-1-2）=-f′[-（-1）]=-f′（1）=-2
∴切線方程為y-f（-3）=f′（-3）（x-（-3）），即y-3=-2（x+3）
化為斜截式得：y=-2x-3
故答案為：2，y=-2x-3．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定切線的斜率與切點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．