Question

函數(shù).

（1）若，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設，若對任意恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可得，當時，在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)等價于對于任意的，（不妨），恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為

在恒成立，即有，在上恒成立，而的，，且，故有，因此分析可得要使恒成立，只需，即有實數(shù)的取值范圍是；（2）由題意分析可得問題等價于在上，，從而可將問題轉(zhuǎn)化為在上，求二次函數(shù)

的最大值與最小值，因此需要對二次函數(shù)的對稱軸分以下四種情況討論：①當，即；②當，即；③當，即；④當，即，結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可分別得到在以上四種情況下的最大值與最小值，從而可得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：（1）時，，

任設，， ..2分

，

∵函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴恒有，..........3分

∴恒有，即恒有， .4分

當時，，∴，∴，即實數(shù)的取值范圍是 ..6分

（2）當時，

對任意有恒成立等價于在上的最大值與最小值之差 ..7分

當，即時，在上單調(diào)遞增，

∴，，∴，與題設矛盾； ..9分

當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，∴恒成立，

即有， ..11分

當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，

∴恒成立，∴； .13分

當，即時，在上單調(diào)遞減，

∴，，∴，與題設矛盾， .15分

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是． 16分

考點：1.恒成立問題的處理方法；2.二次函數(shù)的值域；3.分類討論的數(shù)學思想.