(2009•河西區(qū)二模)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an為函數(shù)f(x)=x2+(n+4)x-2(n∈N*)在[0,1]上的最小值和最大值的和,又?jǐn)?shù)列{bn}滿足:nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=Sn,其中Sn是首項(xiàng)為1,公比為
89
的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
(Ⅰ)求an的表達(dá)式;
(Ⅱ)若cn=-anbn,試問數(shù)列{cn}中是否存在整數(shù)k,使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有cn≤ck成立?并證明你的結(jié)論.
分析:(I)利用二次函數(shù)求出最大值和最小值,從而得出數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(II)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式bn=
T1,  當(dāng)n=1時(shí)
T1-Tn,當(dāng)n≥2時(shí)
分類討論的思想方法即可得出.
解答:解:(I)∵f(x)=x2+(n+4)x-2的對(duì)稱軸為x=-
n+4
2
,又當(dāng)n∈N*時(shí),-
n+4
2
<0
,
故f(x)=x2+(n+4)x-2在[0,1]上是增函數(shù)
∴an=f(0)+f(1)=-2+1+(n+4)-2=n+1,即an=n+1
(Ⅱ)∵Sn=1+
8
9
+(
8
9
)2+…+(
8
9
)n-1

nb1+(n-1)b2+(n-2)b3+…+2bn-1+bn=(
8
9
)n-1+(
8
9
)n-2+…+
8
9
+1  ①

(n-1)b1+(n-2)b2+…+2bn-2+bn-1=(
8
9
)n-2+(
8
9
)n-3+…+
8
9
+1   ②

①-②得b1+b2+…+bn=(
8
9
)n-1
Tn=b1+b2+…+bn=(
8
9
)n-1

當(dāng)n=1時(shí),b1=T1=1,當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=(
8
9
)n-1-(
8
9
)n-2=-
1
9
•(
8
9
)n-2

bn=
1   (n=1)
-
1
9
•(
8
9
)n-2(n≥2)

于是Cn=-anbn=
-2(n=1)
1
9
•(
8
9
)n-2•(n+1)(n≥2)

設(shè)存在正整數(shù)k,使對(duì)n∈N*,Cn≤Ck恒成立.
當(dāng)n=1時(shí),C2-C1=
7
3
>0
,即C2>C1
當(dāng)n≥2時(shí),Cn+1-Cn=
1
9
•(
8
9
)n-1(n+2)-
1
9
•(
8
9
)n-2(n+1)=
1
9
•(
8
9
)n-2[
8
9
(n+2)
-(n+1)]=(
8
9
)n-2
7-n
81

∴當(dāng)n<7時(shí),Cn+1>Cn,當(dāng)n=7時(shí),C8=C7,當(dāng)n>7時(shí),Cn+1<Cn
∴存在正整數(shù)k=7或8,對(duì)于任意正整數(shù)n都有Cn≤Ck成立
點(diǎn)評(píng):熟練掌握等差數(shù)列的圖象公式、分類討論的思想方法,分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵.
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