Question

（03年北京卷理）（13分）

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線相切，點(diǎn)C在l上.

   （Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；

   （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn).

        （i）問(wèn)：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；

        （ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

解析: （Ⅰ）依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為.

（Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為

消y得

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），

假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

①   ②

   

由①－②得

但不符合①，所以由①，②組成的方程組無(wú)解.

因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：

設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，

由，

即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，）時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線，故.

又，

  ，    .

   當(dāng)，即，

 即為鈍角.

 當(dāng)，即，

即為鈍角.

 又，即，

 即.   該不等式無(wú)解，所以∠ACB不可能為鈍角.

 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是.

 解法二：

 以AB為直徑的圓的方程為.

 圓心到直線的距離為，

 所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G.

 當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，∠ACB為直角，當(dāng)C與G

 點(diǎn)不重合，且A，B，C三點(diǎn)不共線時(shí)， ∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角.

 因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.

 過(guò)點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為.

 過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為. 令.

 又由，所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，）時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形.

 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是