Question

8．在等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=450．
（1）求a₁+a₉、a₂+a₈，并比較二者的大��；
（2）根據(jù)（1）的結論，寫出一個可能成立的等式，并證明之．

Answer 1

分析 （1）由題意和等差數(shù)列的性質易得a₁+a₉=a₂+a₈=2a₅=180；
（2）根據(jù)（1）的結論可得：若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q，其中mnpq為正整數(shù)，由等差數(shù)列的通項公式可證．

解答 解：（1）∵在等差數(shù)列{a_n}中a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=450，
∴a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=5a₅=450，解得a₅=90，
∴a₁+a₉=a₂+a₈=2a₅=180；
（2）根據(jù)（1）的結論可得：若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q，其中m、n、p、q為正整數(shù)，
證明：設在等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a_m+a_n=a₁+（m-1）d+a₁+（n-1）d=2a₁+（m+n-2）d，
a_p+a_q=a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=2a₁+（p+q-2）d，
由m+n=p+q可得2a₁+（m+n-2）d=2a₁+（p+q-2）d，即a_m+a_n=a_p+a_q．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質和通項公式，涉及等差數(shù)列性質的證明，屬中檔題．